pm-AMM：预测市场新型自动做市商

编译：yangz，techub news

引言

在这个快速发展的加密世界中，预测市场正变得越来越重要。今天我们要聊聊一个专门为预测市场设计的新型自动做市商（AMM）：pm-AMM。为什么需要这个新玩意儿？因为现有的AMM在处理预测市场的结果代币时，效果并不理想。结果代币的价格波动很大，这让流动性提供者（LP）在市场到期时面临巨大的风险。我们的pm-AMM旨在解决这个问题，让LP们在预测市场中也能安心赚钱。

研究成果

我们提出了一个新的模型——高斯分数动态模型，来模拟结果代币的价格变动。这个模型就像预测市场的指南针，帮助我们预测未来事件的概率。我们基于这个模型，推导出了一种新的AMM不变式，称之为静态pm-AMM不变式。它考虑了损失与再平衡（LVR）的概念，这是一个衡量AMM因套利而亏损的指标。我们发现，静态pm-AMM在所有价格下都能保持统一的LVR，但随着到期日的临近，LVR还是会增加。为了解决这个问题，我们又推导出了动态pm-AMM不变式，它能在预测市场到期前保持预期LVR的稳定。

这些AMM不仅能为预测市场带来更多的流动性，还能为DEX设计者提供新的思路，让他们为其他类型的资产（如稳定币、债券、期权等）定制AMM。我们通过图表比较了pm-AMM与其他AMM的不变曲线，展示了pm-AMM在不同价格下的流动性分配情况。

研究背景

预测市场

预测市场在加密圈越来越火，2024年10月，Polymarket的交易量就超过了20亿美元。但有趣的是，大部分预测市场的流动性还是依赖于订单簿，而不是AMM。这是因为结果代币的价格行为与普通资产不同，现有的AMM难以应对。我们用抛硬币的例子来解释：如果硬币正面朝上，结果代币x的价值就是1美元，反之则为0美元。这种代币的波动性取决于剩余的抛掷次数和当前的抛掷情况，非常不稳定。

许多预测市场其实和这个例子类似，比如预测篮球比赛的结果、总统选举的结果，或者比特币的价格是否会超过某个值。我们的高斯分数动态模型就是从这些例子中得到灵感的。这个模型类似于二元期权的Black-Scholes模型，但更适合预测市场的独特需求。

损失与再平衡和统一性

我们提出的pm-AMM基于一个关键指标：损失与再平衡（LVR）。LVR反映了AMM流动性提供者因套利而遭受的损失。我们希望这个损失在所有价格下都是统一的，这样流动性提供者就能更好地管理风险。我们发现，对于遵循高斯分数动态的结果代币，现有的AMM（如恒定产品做市商或LMSR）并不具有统一的LVR。因此，我们开发了pm-AMM来解决这个问题。

先前研究

AMM最初是为预测市场设计的，后来演变成DEX的主流市场机制。近年来，金融经济学对AMM的成本进行了深入研究，特别是LVR的概念。但预测市场的价格动态与普通资产不同，需要专门的模型。我们的高斯分数动态模型就是为了填补这一空白。之前的StableSwap和YieldSpace等AMM也尝试为非普通资产设计，但它们没有完整的价格过程模型。我们的pm-AMM则更进一步，提供了一个完整的框架。

各类AMM模型

自动做市商

我们考虑了一个单一事件的预测市场和一个交易两种竞对资产的AMM。其中一种资产x在事件发生时支付1美元，否则不支付；另一种资产y则相反。我们的AMM保持一个不变式f(x,y)=L，其中f(⋅,⋅)是储备金(x,y)的不变函数，L是常数。通过这个模型，我们可以计算出资产池的价值，并通过套利者的行为来调整价格。

我们通过两个例子展示了如何计算资产池的价值：恒定产品做市商（CPMM）和对数市场评分规则（LMSR）。

高斯分数动态

我们假设一个随机过程{Zt}，其在时间T结束时的符号决定了事件的发生。如果ZT≥0，则x资产偿付。我们假设Zt遵循布朗运动，波动率为σ>0。这样，x资产在时间t的价格Pt可以表示为Φ(Zt/σ√(T-t))，其中Φ(⋅)是标准正态累积分布函数。我们通过伊托定理计算出Pt的动态，并展示了其波动与价格和剩余时间的关系。

统一AMM

我们定义了统一AMM的概念，即在所有价格下，预期LVR都是资产池当前价值的一个恒定分数。我们发现，对于遵循几何布朗运动的资产，只有几何均值做市商是统一AMM。而对于高斯分数动态的结果代币，我们需要新的方法。我们通过常微分方程（ODE）来求解这个问题，并推导出了静态pm-AMM和动态pm-AMM的公式。

静态pm-AMM

通过变量转换，我们简化了ODE，并找到了静态pm-AMM的解。我们展示了如何计算x和y代币的储量，并推导出了静态pm-AMM的不变式。我们还计算了预期资产池价值，并展示了其随时间的变化规律。

动态pm-AMM

静态pm-AMM虽然在所有价格下都有统一的LVR，但随着时间的推移，LVR会增加。为了解决这个问题，我们提出了动态pm-AMM的概念。我们通过动态调整流动性来保持预期LVR的稳定，并展示了如何计算预期资产池价值和预期损失率。

结论

我们的pm-AMM为预测市场提供了一种新的解决方案，特别是那些由高斯分数动态模型驱动的市场。此外，我们的研究表明，统一AMM的概念也可以应用于其他类型的资产，如债券、期权和其他衍生品。这为未来的研究和应用开辟了新的可能性。